Aprende con Inteligencia

Demostrar o calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{x^2 - 2}{(x^2 + 2)\sqrt{x^4 + 4}} dx $$

Determine el valor de la integral definida:
$$\int_0^1 (9x^9 - x^{90} + 9x^{99} - x^{900} + 9x^{909} - x^{990} + 9x^{999} - x^{9000} + \dots) \, dx$$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \frac{3 \log x - 1 + 2x}{x \log x + x^2 + 2x^4} dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{(x - 1)^3 (x + 2)^5}} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 3x + 2}} $$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{x^{-1/2}}{1 + x^{1/3}} dx$$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(1 - 2\sin x)^2} $$

Resuelva la integral definida:
$$\int_{-3/2}^{-1/2} (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 8x^2 + x) dx$$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(b) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(c) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(d) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$

Evalúe la integral del radical anidado:
$$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\sqrt{\dots}}}} \, dx$$

Determine la integral indefinida de la función:
$$ \int x^2 \cos(\operatorname{arccsc}(x)) \, dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\sin x - \cos x}{e^x + \sin x} dx $$