Aprende con Inteligencia

Encuentre $y'$ en:
$$y = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} \right) + 2 \arctan(\sqrt{\sin x})$$

Si: $f(x) = \frac{1-16x^2}{x^2-16}$; $0 \le x \le 1$ y $g(x) = \sqrt[4]{\frac{1+16x}{x+16}}$; $-\frac{1}{16} \le x \le 1$. \\
Determine: $(f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

Calcular $y'$ simplificado:
$$y = \sqrt{x^2+2x+2} + \ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}) - \sqrt{2} \cdot \ln\left( \frac{x+2+\sqrt{2}\sqrt{x^2+2x+2}}{x} \right)$$

Paso 1:
50. $y = 1/\sqrt{x}$; hallar $y^{(iv)}$

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Calcule la integral definida:
$$\int_0^1 \sin(\cos^{-1}(x)) \, dx$$

Paso 1:
Analizar la continuidad de la función $h(x)$ en todo su dominio:
$$h(x) = \begin{cases} 3 & ; \quad [-1, 2] \\ (f \circ g)(x) & ; \quad \text{en su dominio} \end{cases}$$
Donde $f(x) = x^2 - 2x ; x \in [-1, 7[$ y \$g(x) = $$ \begin{cases} 1 - 2x & ; \quad ]-\infty, -1[ \\ x + 2 & ; \quad ]2, +\infty[ \end{cases} $$

Si las ecuaciones $a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1 = 0$ y $a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2 = 0$ tienen un par de raíces repetidas en común, demuestre que:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 3a_1 & 2b_1 & c_1 \\ 3a_2 & 2b_2 & c_2 \\ a_2b_1 - a_1b_2 & c_1a_2 - c_2a_1 & d_1a_2 - d_2a_1 \end{array} \right| = 0 $$

Paso 1:
Determine si la función $f(x) = \frac{1}{3}x + 4$ tiene una inversa; si es así, encuentre una fórmula para la inversa $f^{-1}$ y calcule su derivada.

Suponga que $f$ y $g$ son funciones que tienen segundas derivadas $f''$ y $g''$ en todo su dominio. Si $f(x) \cdot g(x) = 1$ para todo $x$ y $f'$ y $g'$ nunca son cero, entonces $\frac{f''(x)}{f'(x)} - \frac{g''(x)}{g'(x)}$ es igual a:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{-2f'(x)}{f(x)} & \text{b. } -\frac{2g'(x)}{g(x)} \\ \text{c. } \frac{-f'(x)}{f(x)} & \text{d. } \frac{2f'(x)}{f(x)} \end{array} $$

Hallar $(f \circ g)(x)$ si:
$$f(x)=\begin{cases} x^2 & ; \quad -4 \le x < -1 \\ 5x+4 & ; \quad -1 \le x < 2.25 \end{cases}$$
$$g(x)=\begin{cases} 2x-4 & ; \quad -2.25 \le x < 1 \\ x^2+1 & ; \quad 1 \le x < 4 \end{cases}$$

Dadas las funciones:
$f(x) = |x-2| + |x+3|$ y $g(x) = |x| - |x-1|$.
Hallar: $(f \circ g)(x)$.