Aprende con Inteligencia

Si $x^2 + y^2 = 1$, determine cuál de las siguientes relaciones diferenciales es correcta:

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } yy'' - 2(y')^2 + 1 = 0 & \text{(b) } yy'' + (y')^2 + 1 = 0 \\ \text{(c) } yy'' + (y')^{-2} - 1 = 0 & \text{(d) } yy'' + 2(y')^2 + 1 = 0 \end{array} $$

Si $y = \tan^{-1} \left( \frac{2^x}{1 + 2^{2x+1}} \right)$, entonces $\frac{dy}{dx}$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $1$
2. [b.] $2$
3. [c.] $\ln 2$
4. [d.] ninguno de estos

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \frac{1}{2} \tan x \sin 2x $$

Halle el valor de "A y B" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} A \left( \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 3}{x-1} \right) & ; x > 1 \\ A \cdot B & ; x = 1 \\ \frac{\sqrt[3]{x^3+7} - \sqrt{x^2+3}}{x-1} & ; x < 1 \end{cases}$$

Paso 1:
Demuestre que las líneas tangentes a las curvas $5y - 2x + y^3 - x^2y = 0$ y $2y + 5x + x^4 - x^3y^2 = 0$ en el origen se intersecan en ángulo recto.

Hallar la derivada $y'$ de la función:
$$ y = (3 + 4x - x^2)^{1/2} $$
Expresar el resultado en términos de $y$.

Sea la función $f(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin x - \frac{2}{3}x^3$. Determine el menor valor de $n$ para el cual la n-ésima derivada evaluada en cero es diferente de cero, es decir:
$$ \left. \frac{d^n}{dx^n} f(x) \right|_{x=0} \neq 0 $$

a. 5      b. 6      c. 7      d. 8

Si $y = \frac{(a-x) \sqrt{a-x} - (b-x) \sqrt{x-b}}{\sqrt{a-x} + \sqrt{x-b}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ donde esté definida es:

a. $\frac{x+(a+b)}{\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
b. $\frac{2x-a-b}{2\sqrt{a-x}\sqrt{x-b}}$ \\
c. $-\frac{(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
d. $\frac{2x+(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$

La derivada de $y = (1-x)(2-x)\cdots(n-x)$ en $x = 1$ es:

• [a.] $0$
• [b.] $(-1)(n-1)!$
• [c.] $n! - 1$
• [d.] $(-1)^{n-1}(n-1)!$

Dada la función:
$$ y = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \left\{ \arctan \left( \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \tan \frac{x}{2} \right) \right\} $$
Demuestre que la segunda derivada es:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{b \sin x}{(a + b \cos x)^2} $$

Para el círculo $x^2 + y^2 = r^2$, demuestre que:
$$ \left| \frac{y''}{[1 + (y')^2]^{3/2}} \right| = \frac{1}{r} $$

Paso 1:
Encontrar la derivada de $\sin(x^2 + 1)$ con respecto a $x$ utilizando el primer principio (definición por límite).