Aprende con Inteligencia

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \cos(1 - x)^2 $$

Si $x^2 + y^2 = t - \frac{1}{t}$ y $x^4 + y^4 = t^2 + \frac{1}{t^2}$, entonces el valor de $x^3 y \frac{dy}{dx}$ es:

a. 0      b. 1      c. -1      d. Ninguno de estos

Si $y = x + e^x$, entonces $\frac{d^2x}{dy^2}$ es:

a. $e^x$      b. $-\frac{e^x}{(1+e^x)^3}$      c. $-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$      d. $\frac{-1}{(1+e^x)^3}$

Resolver los siguientes incisos teóricos y prácticos:
a) Enuncie las hipótesis y tesis del teorema de Rolle.
b) Si $f(x) = -\frac{1}{x}$ por definición según límite, probar que $f'(1) = 1$.
c) Si $f(x+2\pi) = \sin x$ hallar el valor abreviado de $f'(f(2\pi))$.
d) Anote un ejemplo de una función continua, pero no derivable en $x_0 = 3$.

Paso 1:
Hallar el rectángulo de área máxima inscrita en un semicírculo de radio $r = 10\text{ cm}$.

Una circunferencia de centro en $(4,0)$ y radio 4 intersecta a otra circunferencia de centro en $(0,0)$ de radio "h" con $0 < h < 8$. Sea el punto $A(8,0)$ y $B$ el punto de intersección de ambas circunferencias, sea $L$ la recta que pasa por $A$ y $B$ que intersecta al eje de ordenadas en el punto $E$, si $O$ es el origen.

1. Calcule $\overline{OE}$ en función de "$h$".
2. Calcule $\lim_{h \to 0} \frac{\overline{OE}}{h}$.

Determinar los valores de $x$ para los cuales la función es continua o discontinua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 27\operatorname{sgn}(x-1)}{x^3 + 3x^2 + 3x - 9 \lfloor \frac{x}{9} \rfloor} & ; -5 < x < 0 \wedge x \neq -3 \\ \frac{x^2-9}{x^2-2x-3} & ; 0 \le x < 5 \wedge x \neq 3 \\ \frac{9}{4} & ; x = -3 \\ \frac{3}{2} & ; x = 3 \end{cases}$$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = \arccos \frac{1}{2}x $$

Si $y = \log_{\sin x}(\tan x)$, entonces el valor de $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\pi/4}$ es igual a:

a. $\frac{4}{\log 2}$     
b. $-4 \log 2$     
c. $\frac{-4}{\log 2}$     
d. Ninguna de las anteriores

En los problemas 49 a 52, hallar la derivada indicada.
49. $y = 3x^4 - 2x^2 + x - 5$; hallar $y'''$

Encuentre $\frac{ds}{dt}$ para la curva definida por:
$x = \cos t$, $y = \sin t$

Encuentre la derivada de la siguiente función:
$y = 4 - 3x$