Aprende con Inteligencia

Diferenciar la siguiente función con respecto a $\theta$:
$$ \rho = \frac{\tan 2\theta}{1 - \cot 2\theta} $$

Si $x = \log p$ y $y = \frac{1}{p}$, entonces:

a. $\frac{d^2y}{dx^2} - 2p = 0$      b. $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$      c. $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0$      d. $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

PROBLEMA Nro. 1 (20 PUNTOS)

• [a)] Aplicando la definición, encontrar la primera derivada de la función respecto de la variable $x$ en el punto $x = 2\pi$; si $f(x) = \tan x$.
• [b)] Enunciar el Teorema del Valor Medio y dar una explicación geométrica.
• [c)] Encontrar una ecuación de la recta tangente y otra ecuación de la recta normal a la curva $y = x^3$ en el punto $(a, -a)$.
• [d)] ¿Qué condición necesaria debe cumplir una función para tener un punto de inflexión en $x = a$? ¿Qué relación existe entre el sentido de concavidad de una curva y su punto de inflexión?

Paso 1:
iv) (5\%) Hallar el conjunto solución de: $\left| \frac{3|x|-x}{x+1} \right| < \frac{1}{x+1}$

Paso 1:
27. $y = \ln 3x^5$

Si $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

$$ \begin{array}{llll} \text{a) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} & \text{b) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2x} & \text{c) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 - 4} & \text{d) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 + 4} \end{array} $$

i) Anote un ejemplo de $f(x)$ par y otro $g(x)$ impar, luego halle $(f \circ g)(x)$ y analice si es par o impar. \\
ii) Para la función: $f(x) = \ln(3x-2) - \ln(x+3)$ identifique el dominio y rango. \\
iii) Construya la gráfica de la función: $f(x) = \frac{3x}{2-x}$. \\
iv) Analice si existe o no el límite: $L = \lim_{x \to \frac{1}{4}} \lfloor 4x - 1 \rfloor$. Justifique su respuesta.

Paso 1:
Encontrar $\Delta y$, dado $y = x^2 - 3x + 5$, $x = 5$, y $\Delta x = -0.01$. ¿Cuál es entonces el valor de $y$ cuando $x = 4.99$?

Dadas las funciones $f(x) = |x-1| + |x-2|$ y $g(x)$ definida por partes, calcule y grafique $(f \circ g)(x)$, indicando su dominio.
$$g(x) = \begin{cases} 2x-1 & ; \ x \le -1 \\ 2 & ; \ -1 < x \le 1 \\ x^2 & ; \ x > 1 \end{cases}$$

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 tal que $f(3)=1$, $f'(3)=-1$, $f''(3)=0$, y $f'''(3)=12$. Entonces el valor de $f'(1)$ es:

1. [a.] 12
2. [b.] 23
3. [c.] -13
4. [d.] ninguna de las anteriores

Si $(\sin x)(\cos y) = 1/2$, entonces $d^2y/dx^2$ en $(\pi/4, \pi/4)$ es:

a. -4      b. -2      c. -6      d. 0