Aprende con Inteligencia

La primera derivada de la función
$$ f(x) = \left[ \cos^{-1} \left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right] $$
con respecto a $x$ en $x = 1$ es:

1. $3/4$
2. $0$
3. $1/2$
4. $-1/2$

Hallar la derivada de la función:
$$ y = 3x^{1/2} - x^{3/2} + 2x^{-1/2} $$

Simplifique y resuelva:
$$\int \left( \frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 + \tan x} + \frac{1}{1 + \cot x} + \frac{1}{1 + \sec x} + \frac{1}{1 + \csc x} \right) dx$$

Hallar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}} $$

La ecuación $f(x) = x$ tiene:
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \text{tres raíces reales y positivas} & \text{(b) } \text{tres raíces reales y negativas} \\ \text{(c) } \text{una raíz real} & \text{(d) } \text{tres raíces reales tales que su suma es cero} \end{array} $$

Para la hipérbola $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$, demostrar que:
(a) la ecuación de la tangente en un punto $P(x_0, y_0)$ es $b^2x_0x - a^2y_0y = a^2b^2$.
(b) las ecuaciones de sus tangentes de pendiente $m$ son $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$.

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$, determine $(f \circ g)(x)$ e indique su dominio.
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{|1-x|-2} & ; \quad x > 3 \\ \lfloor x^2 - 1 \rfloor & ; \quad 0 < x \leq 3 \end{cases} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x+1}{x-4}$$

Si $y = ax^{n+1} + bx^{-n}$, entonces $x^2 \frac{d^2y}{dx^2}$ es igual a:

1. [a.] $n(n - 1)y$
2. [b.] $n(n + 1)y$
3. [c.] $ny$
4. [d.] $n^2y$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdadera(s)?
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (0, \pi), \text{ es } -1 & \text{b. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (\pi, 2\pi), \text{ es } 1 \\ \text{c. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \text{ es } -1 & \text{d. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), \text{ es } -1 \end{array} $$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = (x-a)\sqrt{2ax - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x-a}{a} $$

Paso 1:
31. $y = \ln(\ln \tan x)$