Aprende con Inteligencia

Si $f(x) = e^{g(x)}$ y $g(x) = \int_2^x \frac{t dt}{1 + t^4}$, entonces $f'(2)$ es:
(a) $2/17$ (b) 0 (c) 1 (d) cannot be determined.

Determinar la función suma $(f+g)(x)$ dadas las siguientes funciones:
$$f(x) = \lfloor x \rfloor + 3 + |2x| \quad ; \quad x \in ]-1, 1[$$
$$g(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{x+6}{2} \rfloor & ; \quad x \in ]-2, 0[ \\ x^2 - \lfloor x \rfloor & ; \quad x \in [0, 1[ \end{cases}$$

3.- (20 Pts) Hallar la primera derivada por definición si:
$$y = x e^{\sqrt{x}}$$

Paso 1:
Cualquier entero positivo $m$ puede escribirse de forma única en base 3. Sea $c(m)$ la suma de los cubos de los dígitos de $m$ en base 3. Sea $n$ cualquier entero positivo fijo. Define la sucesión $(u_r)$ por $u_1 = n$ y $u_r = c(u_{r-1})$ para $r \ge 2$. Demuestra que existe un entero positivo $r$ para el cual $u_r = 1, 2$ o $17$.

Calcular:
$$ \int \sqrt{1 + 2\cot x(\cot x + \csc x)} \, dx $$

(a) $2\ln(\cos(x/2)) + c$ \\
(b) $2\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(c) $\frac{1}{2}\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(d) None.

Paso 1:
Hallar la recta tangente a la curva $x^3 y^4 = a^7$ en un punto $P$; probar que el segmento tangente comprendido entre los ejes coordenados se divide en la razón $3/4$ por el punto de contacto $P$.

Paso 1:
50. $y = 1/\sqrt{x}$; hallar $y^{(iv)}$

Encuentre $\frac{ds}{dt}$ para la curva definida por:
$x = t^2$, $y = t^3$

Paso 1:
$$y = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^2} + \frac{3}{4}\text{arcsin}\left(\frac{2x\sqrt{3}}{3}\right)$$

Calcular el incremento de la función $\Delta y$ y la razón de incrementos $\Delta y / \Delta x$, dados:

1. [(a)] $y = 2x - 3$ y $x$ cambia de $3.3$ a $3.5$.
2. [(b)] $y = x^2 + 4x$ y $x$ cambia de $0.7$ a $0.85$.
3. [(c)] $y = 2/x$ y $x$ cambia de $0.75$ a $0.5$.

Encontrar la derivada de $\theta$ con respecto a $r$:
$$ \theta = \frac{3r + 2}{2r + 3} $$

Hallar $\frac{dy}{dx}$ si se tiene el sistema:
$$ \begin{cases} y = t^{|t|} \\ x = |t| \end{cases} $$