Aprende con Inteligencia

Calcule:
$$\int \frac{2 dx}{(\cos(x) - \sin(x))^2}$$

Demostrar que:
$$\log_2 3 + \log_3 2 > 2$$

Sean las siguientes funciones, hallar $(g \circ f)_{(x)}$ y luego graficar:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{|x|+1} & ; -7 \le x < -2 \\ \lfloor \frac{x}{2} \rfloor + x^2 & ; 0 \le x < 2 \end{cases}$$
$$g(x) = \begin{cases} 2^{x-|x|} & ; x \le 0 \\ \ln\sqrt{x} & ; 0 < x \end{cases}$$

Si la gráfica de $y=f(x)$ es simétrica respecto al eje $y$ y la de $y=g(x)$ es simétrica respecto al origen, y si $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, entonces $\frac{d^3h(x)}{dx^3}$ en $x = 0$ es:

a. no puede determinarse      b. $f(0) \cdot g(0)$      c. 0      d. ninguna de estas

Si $f(0) = 0, f'(0) = 2$, entonces la derivada de $y = f(f(f(f(x))))$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $2$
2. [b.] $8$
3. [c.] $16$
4. [d.] $4$

Resuelva:
$$\int_0^\pi \frac{2 \cos(x) - \cos(2021x) - 2\cos(2022x) - \cos(2023x) + 2}{1-\cos(2x)} \, dx$$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdadera(s)?
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (0, \pi), \text{ es } -1 & \text{b. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (\pi, 2\pi), \text{ es } 1 \\ \text{c. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \text{ es } -1 & \text{d. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), \text{ es } -1 \end{array} $$

Determinar: $(f \circ g)(x)$ dado que:

$$f(x) = \begin{cases} \text{sgn}\left(\frac{x-1}{x+4}\right) & ; \ |x| \le 3 \\ \left\lfloor \frac{x+6}{3} \right\rfloor & ; \ 3 < x < 9 \\ \frac{x^2 - 3}{|x| - 1} & ; \ |x-3| > 6 \end{cases}$$

$$g(x) = 2x - 1 \ ; \ -1 < x < 5$$

Sea $f(x) = 2 + \cos x$ para todo $x$ real.
Afirmación 1: Para cada $t$ real, existe un punto $c$ en $[t, t + 2\pi]$ tal que $f'(c) = 0$ porque
Afirmación 2: $f(t) = f(t + 2\pi)$ para cada $t$ real.

$$ \begin{array}{ll} \text{a. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es verdadera; la Afirmación 2 es una explicación correcta para la Afirmación 1.} \\ \text{b. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es verdadera; la Afirmación 2 no es una explicación correcta para la Afirmación 1.} \\ \text{c. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es falsa.} \\ \text{d. } & \text{La Afirmación 1 es falsa, la Afirmación 2 es verdadera.} \end{array} $$

Paso 1:
Examine la ecuación $2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1 = 0$ para encontrar sus puntos máximos y mínimos.

Resolver la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \left( 1 - \frac{2}{x} \right) x^{\sqrt{3}} e^x dx $$

i) Si $a > 0$ y $b < 0$ demostrar que: $\frac{b+1}{a} < \frac{1}{a}$ \\
ii) Resolver la desigualdad: $\left| \frac{x}{1-|x|} \right| < \frac{1}{2}$