Aprende con Inteligencia

La ecuación $x^n - 1 = 0$, con $n > 1$ y $n \in \mathbb{N}$, tiene por raíces $1, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Determine el valor de:
$$(1 - a_1)(1 - a_2) \dots (1 - a_{n-1})$$

$$ \begin{array}{llll} \text{a) } n^2/2 & \text{b) } n & \text{c) } (-1)^n n & \text{d) } \text{none of these} \end{array} $$

Hallar la diferencial $dy$ para la siguiente función:
$$ y = e^{4x^2} $$

Calcule la derivada de la función con respecto a $t$:
$$ s = \frac{t^2 + 2}{3 - t^2} $$

Si $y = |\cos x| + |\sin x|$, entonces el valor de $\frac{dy}{dx}$ en $x = \frac{2\pi}{3}$ es:

1. [a.] $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
2. [b.] $0$
3. [c.] $\frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)$
4. [d.] Ninguna de las anteriores

5. (20\%) Hallar la derivada de "n-ésimo" orden en la función:
$$y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$$

Halle el valor de "A y B" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} A \left( \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 3}{x-1} \right) & ; x > 1 \\ A \cdot B & ; x = 1 \\ \frac{\sqrt[3]{x^3+7} - \sqrt{x^2+3}}{x-1} & ; x < 1 \end{cases}$$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$

Paso 1:
Establecer la fórmula 10 del Capítulo 10 para $m = p/q$, donde $p$ y $q$ son números enteros, escribiendo $y = x^{p/q}$ como $y^q = x^p$ y diferenciando con respecto a $x$.

Paso 1:
Cualquier entero positivo $m$ puede escribirse de forma única en base 3. Sea $c(m)$ la suma de los cubos de los dígitos de $m$ en base 3. Sea $n$ cualquier entero positivo fijo. Define la sucesión $(u_r)$ por $u_1 = n$ y $u_r = c(u_{r-1})$ para $r \ge 2$. Demuestra que existe un entero positivo $r$ para el cual $u_r = 1, 2$ o $17$.

Graficar la función indicando su respectivo dominio e imagen:
$$f(x) = \begin{cases} 7 + \frac{2}{x-6} & ; \ |x| > 2 \wedge x \neq 6 \\ \sqrt{4\text{sgn}(x^2-1) - x^2} & ; \ 1 \le |x| \le 2 \\ \lfloor \frac{x-3}{2} \rfloor + x^2 & ; \ |x| < 1 \end{cases}$$

Hallar $y''$, dado:
(a) $x + xy + y = 2$
(b) $x^3 - 3xy + y^3 = 1$

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule $dy/dx$ por dos métodos diferentes y compruebe que los resultados sean iguales:
(a) $x = (1 + 2y)^3$
(b) $x = 1/(2 + y)$