Aprende con Inteligencia

Si $y = x + e^x$, entonces $\frac{d^2x}{dy^2}$ es:

a. $e^x$      b. $-\frac{e^x}{(1+e^x)^3}$      c. $-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$      d. $\frac{-1}{(1+e^x)^3}$

Si: $f(x) = \frac{1-16x^2}{x^2-16}$; $0 \le x \le 1$ y $g(x) = \sqrt[4]{\frac{1+16x}{x+16}}$; $-\frac{1}{16} \le x \le 1$. \\
Determine: $(f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

Sea $f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sin(x+h))^{\ln(x+h)} - (\sin x)^{\ln x}}{h}$. Entonces $f\left( \frac{\pi}{2} \right)$ es:

a. igual a 0 \\
b. igual a 1 \\
c. $\ln \frac{\pi}{2}$ \\
d. no-existente

Si $y = ax^{n+1} + bx^{-n}$, entonces $x^2 \frac{d^2y}{dx^2}$ es igual a:

1. [a.] $n(n - 1)y$
2. [b.] $n(n + 1)y$
3. [c.] $ny$
4. [d.] $n^2y$

Hallar la derivada de la función:
$$ y = \sqrt{2x} + 2\sqrt{x} $$

Hallar $dy/dx$ para la función:
42. $y = 3^{-x^2}$

Si las ecuaciones $a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1 = 0$ y $a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2 = 0$ tienen un par de raíces repetidas en común, demuestre que:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 3a_1 & 2b_1 & c_1 \\ 3a_2 & 2b_2 & c_2 \\ a_2b_1 - a_1b_2 & c_1a_2 - c_2a_1 & d_1a_2 - d_2a_1 \end{array} \right| = 0 $$

Calcular $\frac{dy}{dx}$ para $y = \tan^{-1} \left\{ \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} \right\}$, donde $0 < x < \pi$.

1. [a.] $-1/2$
2. [b.] $0$
3. [c.] $1$
4. [d.] $-1$

Si $f(x) = \arcsin(\cos x)$, entonces el valor de $f(10) + f'(10)$ es:

a. $11 - \frac{7\pi}{2}$      b. $\frac{7\pi}{2} - 11$      c. $\frac{5\pi}{2} - 11$      d. ninguno de estos

Demostrar que:
(a) $y'' + 4y = 0$ cuando $y = 3 \sin (2x + 3)$
(b) $y''' + y'' + y' + y = 0$ cuando $y = \sin x + 2 \cos x$

Paso 1:
$$y = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^2} + \frac{3}{4}\text{arcsin}\left(\frac{2x\sqrt{3}}{3}\right)$$

Si $y^2 = ax^2 + bx + c$, entonces $y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ es:

a. una constante      b. una función de $x$ solamente      c. una función de $y$ solamente      d. una función de $x$ y $y$