Aprende con Inteligencia

Resolver los siguientes incisos teóricos y prácticos:
a) Enuncie las hipótesis y tesis del teorema de Rolle.
b) Si $f(x) = -\frac{1}{x}$ por definición según límite, probar que $f'(1) = 1$.
c) Si $f(x+2\pi) = \sin x$ hallar el valor abreviado de $f'(f(2\pi))$.
d) Anote un ejemplo de una función continua, pero no derivable en $x_0 = 3$.

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule $dy/dx$ por dos métodos diferentes y compruebe que los resultados sean iguales:
(a) $x = (1 + 2y)^3$
(b) $x = 1/(2 + y)$

Paso 1:
Dada la curva definida por la función $y = a \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$, demuestre que $\frac{ds}{dx} = \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$.

Paso 1:
Encuentre, con cuatro decimales: (a) la raíz real de $x^3 + 3x + 1 = 0$; (b) la raíz más pequeña de $e^{-x} = \sin x$; (c) la raíz de $x^2 + \ln x = 2$; (d) la raíz de $x - \cos x = 0$.

Sea la función $f(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin x - \frac{2}{3}x^3$. Determine el menor valor de $n$ para el cual la n-ésima derivada evaluada en cero es diferente de cero, es decir:
$$ \left. \frac{d^n}{dx^n} f(x) \right|_{x=0} \neq 0 $$

a. 5      b. 6      c. 7      d. 8

Paso 1:
Hallar la recta tangente a la curva $x^3 y^4 = a^7$ en un punto $P$; probar que el segmento tangente comprendido entre los ejes coordenados se divide en la razón $3/4$ por el punto de contacto $P$.

Paso 1:
Dados $S = \pi x(x + 2y)$ y $V = \pi x^2y$, demuestre que $dS/dx = 2\pi(x - y)$ cuando $V$ es constante y $dV/dx = -\pi x(x - y)$ cuando $S$ es constante.

Paso 1:
La pendiente de la tangente a la curva $(y - x^5)^2 = x(1 + x^2)^2$ en el punto $(1, 3)$ es:

Paso 1:
Hallar el rango de la función: $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 12}$ para $x \geq 2$.

5.- (20 Pts) Hallar las dimensiones y el área del mayor rectángulo, que tiene uno de sus lados sobre la recta $x=9$ y los vértices del lado opuesto sobre la curva:
$$x + 4y = y^2 + 7$$

Si $y = \sin px$ y $y_n$ es la $n$-ésima derivada de $y$, entonces el determinante
$$ \begin{vmatrix} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{vmatrix} \text{ es:} $$

1. $1$
2. $0$
3. $-1$
4. ninguno de estos

Encuentre la derivada de:
$$ y = \left( \frac{x^3 - 1}{2x^3 + 1} \right)^4 $$