Aprende con Inteligencia

En los problemas 33 a 36, encontrar $dy/dx$.
36. $x = a \text{ sech}^{-1} \left( \frac{y}{a} \right) - \sqrt{a^2 - y^2}$

Encuentre la derivada de la siguiente función:
$y = 4x - 3$

Paso 1:
Graficar la función: $f(x) = 2 \left| \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \right| + 1$

Si la raíz $\alpha$ ocurre $p$ veces y la raíz $\beta$ ocurre $q$ veces en la ecuación polinómica $f(x) = 0$ de grado $n$ ($1 < p, q < n$), ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera [donde $f^{(r)}(x)$ representa la $r$-ésima derivada de $f(x)$ con respecto a $x$]?

$$ \begin{array}{l} \text{a) Si } p < q < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(p-1)}(x) = 0. \\ \text{b) Si } q < p < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(q-1)}(x) = 0. \\ \text{c) Si } p < q < n, \text{ entonces las ecuaciones } f(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente una raíz común.} \\ \text{d) Si } q < p < n, \text{ entonces las ecuaciones } f^{(q)}(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente dos raíces comunes.} \end{array} $$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \frac{u - 1}{u + 1}$, $u = \sqrt{x}$

Si $x \in (0, \pi/2)$, demuestre que:
$$\frac{d}{dx} \cos^{-1} \left\{ \frac{7}{2}(1 + \cos 2x) + \sqrt{(\sin^2 x - 48 \cos^2 x)} \sin x \right\} = 1 + \frac{7 \sin x}{\sqrt{\sin^2 x - 48 \cos^2 x}}$$

Paso 1:
Si $f(x) = \cos(x) \sin(x)$, evalúe la derivada de orden 2023 en el punto $x = 0$, es decir, $f^{(2023)}(0)$.

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \cos(1 - x)^2 $$

Diferenciar la siguiente función con respecto a $\theta$:
$$ \rho = \frac{\tan 2\theta}{1 - \cot 2\theta} $$

Paso 1:
Hallar la regla de correspondencia para la función mostrada en la gráfica, considerando que la primera parte es una parábola de segundo grado con vértice en $(2, 2)$ y que pasa por el origen.

Sea $f(x) = e^{-1/x}$, donde $x > 0$. Sea $P_n$ el polinomio tal que $\frac{d^n f(x)}{dx^n} = P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ para todo $n$ entero positivo y $x > 0$. Demuestre que:
$$ P_{n+1}(x) = x^2 \left[ P_n(x) - \frac{d}{dx}P_n(x) \right] $$

Paso 1:
32. $y = \frac{\ln x^2}{x^2}$