Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Se tiene una tela de $5\text{ m}$ de largo y $75\text{ pulgadas}$ de ancho. Se requiere doblar una de las esquinas de tal forma que esta coincida con el lado opuesto. Encontrar el ángulo bajo el cual se dobla una de las esquinas si el área formada por el trazo de tela doblada es la mínima.

Paso 1:
Se tiene una circunferencia de centro en $C(2a,0)$ tal que la misma corta en un ángulo recto a la elipse $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$. Halle el radio de dicha circunferencia.

Paso 1:
A partir de $\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$, demuestre que $\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ y $\displaystyle \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{3(y'')^2 - y'y'''}{(y')^5}$.

Para la curva definida paramétricamente por $x = f(u)$, $y = g(u)$, derive la expresión:
$$ \left( \frac{ds}{du} \right)^2 = \left( \frac{dx}{du} \right)^2 + \left( \frac{dy}{du} \right)^2 $$

Si $y = \frac{(a-x) \sqrt{a-x} - (b-x) \sqrt{x-b}}{\sqrt{a-x} + \sqrt{x-b}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ donde esté definida es:

a. $\frac{x+(a+b)}{\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
b. $\frac{2x-a-b}{2\sqrt{a-x}\sqrt{x-b}}$ \\
c. $-\frac{(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
d. $\frac{2x+(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$

Sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n > 2$) los vértices de un polígono regular de $n$ lados con su centro en el origen. Sea $\vec{a}_k$ el vector de posición del punto $A_k$ para $k = 1, 2, \dots, n$. Si se cumple que:
$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}) \right| $$
entonces el valor mínimo de $n$ es:

Después de graficar $f(x) + g(x)$ indicar el rango, en el dominio $0 \le x \le 2\pi$ donde:
$$f(x) = \text{sgn}[\cos x] \quad ; \quad g(x) = \left\lfloor \frac{2x}{\pi} \right\rfloor$$

Si se conocen: $f\left( \frac{2}{x^2} \right) = \frac{2x^2-6}{x^2}$ y $g^{-1}(2x+1) = \frac{x}{3x-2}$. Deducir la expresión reducida de:
$$(g \circ f^{-1} \circ g^{-1})_{(|x|)}$$

En los problemas 49 a 52, hallar la derivada indicada.
49. $y = 3x^4 - 2x^2 + x - 5$; hallar $y'''$

La primera derivada de la función
$$ f(x) = \left[ \cos^{-1} \left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right] $$
con respecto a $x$ en $x = 1$ es:

1. $3/4$
2. $0$
3. $1/2$
4. $-1/2$

Encontrar por definición la derivada de la función dada:
$$f(x) = \arccos(e^x)$$