Aprende con Inteligencia

En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.

a. $e$      b. $2e$      c. $4e$      d. Ninguna de las anteriores

Si $f''(x) = -f(x)$ y $g(x) = f'(x)$ y se define la función:
$$F(x) = \left( f\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 + \left( g\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2$$
y dado que $F(5) = 5$, entonces el valor de $F(10)$ es:

1. [a.] 5
2. [b.] 10
3. [c.] 0
4. [d.] 15

Paso 1:
Si $f(x) = 2023^{-1/x}$, entonces calcule la segunda derivada $f^{(2)}(x)$.

Paso 1:
Deduzca las fórmulas de diferenciación del 32 al 36, 38 al 40, y 42 basándose en las definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas.

Hallar la derivada de:
$$ y = (x - 1) \sqrt{x^2 - 2x + 2} $$

Paso 1:
Si $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{2 + f(x) + f(y)}{3}$ para todos los reales $x, y$ y $f'(2) = 2$, determine $y = f(x)$.

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \left( \frac{x}{1 + x} \right)^5 $$

Paso 1:
Hallar la ené-sima derivada de la función: $f(x) = \frac{1}{1 - 4x}$

Resuelva los siguientes incisos teóricos sobre funciones y derivadas:

1. Si $f(x)$ es continua y está definida en $]-2, 3[$, ¿Se puede asegurar que existen máximos y mínimos locales (relativos) en el intervalo? Explique.
2. Analice si $f(x) = x^{2/3}$ cumple o no el teorema de Rolle en el intervalo $[-1, 1]$.
3. ¿En qué puntos no es derivable $f(x) = |9 - x^2|$? Explique.
4. Dé un ejemplo de una función que tenga punto de inflexión en $x_0 = 2$.

Paso 1:
Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función que satisface la condición $f(x + y^3) = f(x) + [f(y)]^3$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Si $f'(0) \geq 0$, halle $f(10)$.

Estudie si la función $f(x)$ es biyectiva, si $f: [1,4] \to [0,3]$ definida por:
$$f(x) = \sqrt{9 - (x-1)^2}$$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sin(x - a) \sin(x - b)} $$