Aprende con Inteligencia

i) Si $a > 0$ y $b < 0$ demostrar que: $\frac{b+1}{a} < \frac{1}{a}$ \\
ii) Resolver la desigualdad: $\left| \frac{x}{1-|x|} \right| < \frac{1}{2}$

Demostrar que:
(a) $y'' + 4y = 0$ cuando $y = 3 \sin (2x + 3)$
(b) $y''' + y'' + y' + y = 0$ cuando $y = \sin x + 2 \cos x$

Hallar $dy/dx$ para la función:
41. $y = e^{\sin 3x}$

Calcular la $n$-ésima derivada de la función logaritmo natural:
$$\frac{d^n}{dx^n}(\log x) =$$

a. $\frac{(n-1)!}{x^n}$
b. $\frac{n!}{x^n}$
c. $\frac{(n-2)!}{x^n}$
d. $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$

Hallar el ángulo que forman en sus intersecciones las curvas:
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \quad ; \quad x^2 - y^2 = 1$$

En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.

a. $e$      b. $2e$      c. $4e$      d. Ninguna de las anteriores

Paso 1:
Dados $S = \pi x(x + 2y)$ y $V = \pi x^2y$, demuestre que $dS/dx = 2\pi(x - y)$ cuando $V$ es constante y $dV/dx = -\pi x(x - y)$ cuando $S$ es constante.

Calcule la integral indefinida:
$$\int \cos x \cdot \cos(\sin x) \cdot \cos(\sin(\sin x)) \, dx$$

Si $f(x) = e^{g(x)}$ y $g(x) = \int_2^x \frac{t dt}{1 + t^4}$, entonces $f'(2)$ es:
(a) $2/17$ (b) 0 (c) 1 (d) cannot be determined.

Si $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$:

• [a.] $\frac{-1}{2|x|\sqrt{x^2-1}}$
• [b.] $\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [c.] $\frac{1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [d.] none of these

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Calcular la derivada de la función con respecto a $w$:
$$ z = \frac{w}{\sqrt{1 - 4w^2}} $$