Aprende con Inteligencia

Calcule la integral definida:
$$\int_0^1 \sin(\cos^{-1}(x)) \, dx$$

La función $f(x) = e^x + x$, siendo diferenciable y uno a uno, tiene una inversa diferenciable $f^{-1}(x)$. El valor de $\frac{d}{dx}(f^{-1})$ en el punto $f(\ln 2)$ es:

a. $\frac{1}{\ln 2}$ \\
b. $\frac{1}{3}$ \\
c. $\frac{1}{4}$ \\
d. ninguna de estas

Evaluar los siguientes límites:
(a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$;
(b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$;
(c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 2x}{x \sin^2 3x}$.

Sea $f(x)$ una expresión cuadrática que es positiva para todos los valores reales de $x$. Si $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$, entonces para cualquier $x$ real:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } g(x) < 0 & \text{b. } g(x) > 0 & \text{c. } g(x) = 0 & \text{d. } g(x) \geq 0 \end{array} $$

Hallar la expresión abreviada de $y''$ si se conoce:
$$\ln\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2}\right) + \arctan\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = 8$$

Paso 1:
Hallar el valor de $A$ para que la siguiente desigualdad $|2x^2 + 2x + 1| < x + A$ tenga como conjunto solución: $C_s = ]-2.5, 2[$

Hallar la diferencial $dy$ para la siguiente función:
$$ y = e^{4x^2} $$

Si $f''(x) = -f(x)$ y $g(x) = f'(x)$ y se define la función:
$$F(x) = \left( f\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 + \left( g\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2$$
y dado que $F(5) = 5$, entonces el valor de $F(10)$ es:

1. [a.] 5
2. [b.] 10
3. [c.] 0
4. [d.] 15

Paso 1:
Si $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{2 + f(x) + f(y)}{3}$ para todos los reales $x, y$ y $f'(2) = 2$, determine $y = f(x)$.

Dadas las funciones:
$f(x) = |x-2| + |x+3|$ y $g(x) = |x| - |x-1|$.
Hallar: $(f \circ g)(x)$.

Hallar la pendiente en el punto $(x_0, y_0)$ de:
(a) $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$
(b) $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$
(c) $x^3 + y^3 - 6x^2y = 0$