Aprende con Inteligencia

Si $x - c$ es un factor de orden $m$ del polinomio $f(x)$ de grado $n$ ($1 < m < n$), entonces $x = c$ es una raíz del polinomio [donde $f^{(r)}(x)$ representa la $r$-ésima derivada de $f(x)$ con respecto a $x$]:

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } f^{(m)}(x) & \text{b) } f^{(m-1)}(x) \\ \text{c) } f^{(n)}(x) & \text{d) } \text{ninguno de estos} \end{array} $$

i) Calcular el dominio de la función:
$$f(x) = \ln(x+2) - \ln(2x-3)$$

Realizar un análisis completo y graficar la curva definida por la ecuación:
$$x^2y^2 - 4y^2 - x^4 = 0$$

Calcular:
$$\int \cos x \cot x \, dx$$

Paso 1:
Hallar el rectángulo de área máxima inscrita en un semicírculo de radio $r = 10\text{ cm}$.

Sea $f(x) = \begin{vmatrix} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{vmatrix}$, donde $p$ es una constante.
Entonces el valor de $\frac{d^3}{dx^3} (f(x))$ en $x = 0$ es:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } p & \text{b. } p - p^3 & \text{c. } p + p^3 & \text{d. } \text{independiente de } p \end{array} $$

Dado que $\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8} \cdots = \frac{\sin x}{x}$. Encuentra el valor de la suma:
$$ \frac{1}{2^2} \sec^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2^4} \sec^2 \frac{x}{4} + \cdots $$

Paso 1:
Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola $xy = 1$ que pasan por el punto $(-1, 1)$.

Paso 1:
Si la relación $f(xy) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x}$ se cumple para todo $x, y$ reales mayores a 0, y $f(x)$ es una función derivable para todo $x > 0$ tal que $f(e) = \frac{1}{e}$, halle $f(x)$.

Si $f(x)$ satisface la relación funcional:
$$ f\left(\frac{5x-3y}{2}\right) = \frac{5f(x)-3f(y)}{2} \quad \forall x, y \in \mathbb{R} $$
y además se sabe que $f(0) = 3$ y $f'(0) = 2$, determine el periodo de la función $g(x) = \sin(f(x))$.

a. $2\pi$      b. $\pi$      c. $3\pi$      d. $4\pi$

Calcular la derivada de la siguiente función:
$$ y = (1 - 5x)^6 $$

Determinar la función suma $(f+g)(x)$ dadas las siguientes funciones:
$$f(x) = \lfloor x \rfloor + 3 + |2x| \quad ; \quad x \in ]-1, 1[$$
$$g(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{x+6}{2} \rfloor & ; \quad x \in ]-2, 0[ \\ x^2 - \lfloor x \rfloor & ; \quad x \in [0, 1[ \end{cases}$$