Aprende con Inteligencia

Hallar $dy/dx$ para la función:
42. $y = 3^{-x^2}$

Paso 1:
Para la función racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2}$, encuentre la expresión para la función inversa $x = f^{-1}(y)$ y calcule la derivada $\frac{dx}{dy}$.

Si $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}} \right]$ para $0 < x < \pi/2$, entonces $\frac{dy}{dx} =$

a. $\frac{1}{2}$
b. $\frac{2}{3}$
c. $3$
d. $1$

La ecuación $f(x) = x$ tiene:
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \text{tres raíces reales y positivas} & \text{(b) } \text{tres raíces reales y negativas} \\ \text{(c) } \text{una raíz real} & \text{(d) } \text{tres raíces reales tales que su suma es cero} \end{array} $$

Encontrar por definición la derivada de la función dada:
$$f(x) = \arccos(e^x)$$

Si $y = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}}$, entonces $(1 - x^2) \frac{dy}{dx}$ es igual a:

a. $x + y$     
b. $1 + xy$     
c. $1 - xy$     
d. $xy - 2$

Si $x - c$ es un factor de orden $m$ del polinomio $f(x)$ de grado $n$ ($1 < m < n$), entonces $x = c$ es una raíz del polinomio [donde $f^{(r)}(x)$ representa la $r$-ésima derivada de $f(x)$ con respecto a $x$]:

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } f^{(m)}(x) & \text{b) } f^{(m-1)}(x) \\ \text{c) } f^{(n)}(x) & \text{d) } \text{ninguno de estos} \end{array} $$

Dado que $\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8} \cdots = \frac{\sin x}{x}$. Encuentra el valor de la suma:
$$ \frac{1}{2^2} \sec^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2^4} \sec^2 \frac{x}{4} + \cdots $$

Si $u = f(x^3)$, $v = g(x^2)$, $f'(x) = \cos x$, y $g'(x) = \sin x$, entonces $\frac{du}{dv}$ es:

a. $\frac{3}{2} x \cos x^3 \csc x^2$      b. $\frac{2}{3} \sin x^3 \sec x^2$      c. $\tan x$      d. ninguna de estas

Calcular $y'$ simplificado:
$$y = \sqrt{x^2+2x+2} + \ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}) - \sqrt{2} \cdot \ln\left( \frac{x+2+\sqrt{2}\sqrt{x^2+2x+2}}{x} \right)$$

Integre:
$$\int \frac{1 + \cot(x)}{1 - \cot(x)} \, dx$$

Calcule:
$$\int \sin(2x) \cos(3x) \, dx$$