Aprende con Inteligencia

Calcular la derivada de la función:
$$ \rho = \frac{1}{(\sec 2\theta - 1)^{3/2}} $$

Paso 1:
Dada la función $f(x) = \sqrt{x - 5}$, determine su función inversa $x = f^{-1}(y)$ y calcule la derivada $\frac{dx}{dy}$.

Si $\lim_{t \to x} \frac{e^t f(x) - e^x f(t)}{(t - x)(f(x))^2} = 2$ y $f(0) = \frac{1}{2}$, entonces el valor de $f'(0)$ es:

a. $4$ \\
b. $2$ \\
c. $0$ \\
d. $1$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \cos x \cdot \cos(\sin x) \cdot \cos(\sin(\sin x)) \, dx$$

Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} \cdot x$. Entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(10) = 1 & \text{b. } f'(3/2) = -1 \\ \text{c. } \text{El dominio de } f(x) \text{ es } x \geq 1 & \text{d. } \text{El rango de } f(x) \text{ es } (-2, -1] \cup (2, \infty) \end{array} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)} dx $$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = \arcsin (x-1) $$

Demuestre las siguientes formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas:

1. [(a)] $\cosh^{-1} u = \ln (u + \sqrt{u^2 - 1}), \quad u \geq 1$
2. [(b)] $\tanh^{-1} u = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + u}{1 - u}, \quad u^2 < 1$

Si $$ \begin{cases} x = \frac{2t^2 \ln t + 3 - 8t^2}{4t^2} \\ y = \frac{t^4 + 3 - 4t^3}{4t^3} \end{cases} $$
Hallar en forma reducida la expresión: $(y'')^2 - 2(y'')y' + 3$

Paso 1:
Demuestre que la normal a una parábola en cualquiera de sus puntos $P_0$ biseca el ángulo incluido por el radio focal de $P_0$ y la línea que pasa por $P_0$ paralela al eje de la parábola.

Encontrar la derivada de $\theta$ con respecto a $r$:
$$ \theta = \frac{3r + 2}{2r + 3} $$

7. Suponga que la función $f(x)$ satisface la relación $f(x + y^3) = f(x) + f(y^3)$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$ y es derivable para todo $x$.
Afirmación 1: Si $f'(2) = a$, entonces $f'(-2) = a$.
Afirmación 2: $f(x)$ es una función impar.