Aprende con Inteligencia

Demuestre la siguiente identidad utilizando el método de inducción matemática:
$$1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

38. Calcular el valor de:
$$R = \frac{[-9^{-2^{-1}}][-243^{-0.2}]^{-1}}{[81^{-4^{-2^{-1}}}][-(1/27)^{-3^{-1}}]}$$

$$ \begin{array}{llll} \text{A) } -1 & \text{B) } 3 & \text{C) } -3 \\ \text{D) } 1/3 & \text{E) } -1/3 \end{array} $$

Tres obreros trabajando juntos pueden concluir una obra en 10 días; si trabajan solo los dos primeros la acabarán en 15 días, pero si laboran los dos últimos culminan en 20 días. ¿Qué tiempo tardan el primero y tercero juntos?

a) 12 días      b) 11 días      c) 10 días      d) 13 días      e) 16 días

Problema:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^3+y^3=9 \quad \quad (1) \\ \vspace{6pt} x^2y+xy^2=6 \quad (2) \end{cases} $$

Resolver el sistema para valores enteros y positivos y dar el valor de $z$:
$$ \begin{cases} 2y < x \\ 4y > 7z \\ x < 2z + 4 \end{cases} $$

a) 5      b) 2      c) 1      d) 3      e) 4

Calcula el valor de la siguiente expresión:

$$5^2 \cdot 5^3$$

Racionalizar y simplificar:
$$ \frac{2 + \sqrt{6}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{6} - 2} $$

Resolver la suma de los $n$ términos:
$$ S_n = \frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} $$

Resolver:
$$\frac{(x + 1)(x - 3)}{5(x + 2)(x - 4)} + \frac{(x + 3)(x - 5)}{9(x + 4)(x - 6)} - \frac{2(x + 5)(x - 7)}{13(x + 6)(x - 8)} = \frac{92}{585}$$

a) $1 + \sqrt{9}$      b) $1 - \sqrt{9}$      c) $1 + \sqrt{19}$ \\
d) $1 + \sqrt{19}i$      e) $1 - \sqrt{19}i$

Resuelve la ecuación:
$$ 4x^3 - 3x - 1 = 0 $$

Si $a \geqslant 0, b \geqslant 0, c \geqslant 0$ y además $a + b + c = 1$, demuestre que:
$$ (1 - a)(1 - b)(1 - c) \geqslant 8abc $$

Simplificar la expresión:
$$ \frac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3} $$