Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Demostrar que si: $\frac{1}{b-a}; \frac{1}{2b}; \frac{1}{b-c}$ forman una progresión aritmética, entonces $a, b, c$ forman una progresión geométrica.

Sabiendo que:
$$ m = \left( \sqrt[3]{x^2 \sqrt[3]{x^2 \dots}} \right) \left( \sqrt[4]{x^3 \sqrt[4]{x^3 \dots}} \right) \dots \left( \sqrt[m+2]{x^{m+1} \sqrt[m+2]{x^{m+1} \dots}} \right) $$
Calcular el valor aproximado de $x$ en función de $m$.

$$ \begin{array}{lll} \text{A) } m & \text{B) } m^m & \text{C) } m^{1/m} \\ \text{D) } \frac{1}{m} & \text{E) } m^2 & \end{array} $$

En una construcción laboran 36 operarios para que en 24 días trabajando 5 h/d lo concluyan, pero luego de 10 días los obreros disminuyen su rendimiento en 1/4 El encargado de la obra después de 4 días decide aumentar en una hora la jornada y contrata más obreros para terminar la obra en la fecha fijada ¿cuántos obreros más habrá contratado el encargado?

a) 1      b) 2      c) 3 \\
d) 6      e) 4

Si $a + b \geq 0$, demostrar que:
$$ab(a + b) \leq a^3 + b^3$$

Respecto al polinomio sobre $\mathbb{Q}$: $P_{(x)} = x^5 + x^4 + 1$, indique lo correcto.

A) Tiene 3 factores primos.
B) Un factor primo es $(x^2 - x + 1)$.
C) Tiene dos factores primos cuadráticos.
D) Un factor primo es $(x^3 - x + 1)$.
E) La suma de coeficientes de un factor primo es 2.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 26 \\ x^4 - y^4 = 20(x+y) \end{cases} $$

Determine verdadero (V) o falso (F) según corresponda, con respecto al polinomio $P(a;b) = ab(2ab - 1)^3(ab - 1)^2(a^2b^2 - 1)$.

I) $ab$ es un factor primo. \\
II) Tiene cuatro factores primos. \\
III) Tiene factores primos de segundo grado.

A) VFV      B) FVV      C) VVF      D) FVF      E) FFV

Demostrar que:
$$\frac{1}{(\log_{a_1} x)^{-1} + (\log_{a_2} x)^{-1} + \dots + (\log_{a_n} x)^{-1}} = \log_{a_1 a_2 \dots a_n} x$$

Si $a \ge 0$ y $b \ge 0$, demostrar que:
$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^8 \ge 16ab(a + b)^2 $$

Calcular el valor simplificado de:
$$ (\sqrt{ab} - ab(a + \sqrt{ab})^{-1}) \div \frac{2\sqrt{ab} - 2b}{a - b} $$

Si $x \in \mathbb{R} - \{\pm 1\}$, hallar $n$ que verifica:
$$ \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{x}}}{x}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(\frac{1}{x}\right)^n}}} $$
$$ \begin{array}{llll} \text{A) } 8 & \text{B) } 9 & \text{C) } 10 & \text{D) } 4 & \text{E) } 5 \end{array} $$

Si la media aritmética entre $(a - 4)$ y $(10 - b)$ es igual a su media geométrica, evaluar $a + b$.

a) 11      b) 6      c) 4      d) 14      e) 40